学机器学习怎么可以不知道最小二乘法

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起源

起源:最小二乘法源于天文学和大地测量学领域。事先 这另有一个领域对精度的高要求而被发明者者。

110001年,意大利天文学家朱塞普·皮亚齐发现了第一颗小行星谷神星。进行了40天的跟踪观测后,但事先 谷神星运行到太阳肩头,拖累了具体位置信息。就是全世界的科学家利用皮亚齐的观测数据日后开始寻找谷神星,就是根据大多数人计算的结果来寻找谷神星都没法结果。时年24岁的高斯也计算了谷神星的轨道。奥地利天文学家海因里希·奥伯斯根据高斯计算出来的轨道重新发现了谷神星。高斯使用的最小二乘法的最好的辦法 发表于110009年他的著作《天体运动论》中,你你这种 高斯正是著名数学家 卡尔·弗里德里希·高斯 ,没错什么都有 朋友 大类学认识的那个高斯。

机器学习本质其实什么都有 求最优解的过程,最小二乘法是回归算法中求最优解的最好的辦法 之一,还另有一个是梯度下降法,事先 会讲~。

思考

朋友 在正式讲最小二乘法事先 ,读者大大们都都要想下下面你你这种 什么的问題临近中秋,小明日后许多人做月饼,现在已知有并不是规格月饼所需的面粉重量如下:

月饼重量(g)面粉重量(g)
1000 20
1000 81
1000 110
190 90
220 11000

现在小明想做规格为140g的月饼,请问他都要几条克月饼现在读者大大们根据平时经验,都都要思考下为什么会么会求。九年义务教育我想看见你你这种 题目就条件反射列方程求未知数,让我说 知道读者大大们是删改一定会也是没法 ~

原理

朋友 从没法 宽度来看你你这种 什么的问題朋友 将这有一个月饼用坐标系标出来,如下图 就是朋友 先用画出第三根接近这有一个点的线,假设线性关系为

是删改一定会就是朋友 找出第三根最接近这有一个点的线就都都要了,没法 算出来的值是最接近真实值的。

由图都都要得出,都要这条线跟你你这种 有一个点的误差最小, 每个点跟线的误差如下所示

事先 误差是长度,什么都有要算绝对值,计算起来不方便,用平方来替代

最后将所有误差值累加得出

最小二乘法呼之欲出,这什么都有 最小二乘法的原理了,即让误差的平方总和尽事先 小。从求第三根最接近这有一个点的线的什么的问題转化成求最小化误差的什么的问題。

求解

没法为什么会么会求呢,继续以顶端的为例子。这是另有一个二次函数。总误差的平方:

根据多元微积分,当

你你这种 事先 ϵ 取得最小值,求的a,b的解为

a,b求出后,这条最接近的线也就出来了

进一步现在假设这条线是 二次函数,结果如保

朋友 都都要确定 不同的 f(x),根据最小二乘法得出不一样的拟合函数。不过确定 f(x)还是没法太随意,不然要么不准,要么容易过拟合。代码实现整个思路如下

目标函数:代入生成的x,生成对应的y

def real_func(x):
  return np.sin(2*np.pi*x)

随机生成10个x进行实验:

x = np.linspace(0, 1, 10)

构造多项式拟合函数:

#多项式
def fit_func(p,x):
    """
    eg:p = np.poly1d([2,3,5,7])

   print(p)==>>2x3 + 3x2 + 5x + 7
    """
    f = np.poly1d(p)
    return f(x)

计算误差:

#残差
def residuals_func(p, x, y):
    ret = fit_func(p, x) - y
    return ret

leastsq 是 scipy 库 进行最小二乘法计算的函数,也什么都有 通过误差函数以及数据点进行朋友 前面讲的对参数进行求导操作,最后得出朋友 拟合出来的函数。

def fitting(M=0):
    """
    n 为 多项式的次数
    """    
    # 随机初始化多项式参数
    #numpy.random.rand(d0)的随机样本位于[0, 1)之间。d0表示返回几条个
    p_init = np.random.rand(M+1) #生成M+另有一个随机数的列表
    # 最小二乘法
    p_lsq = leastsq(residuals_func, p_init, args=(x, y)) # 另有一个参数:误差函数、函数参数列表、数据点
    print('Fitting Parameters:', p_lsq[0])
    
    # 可视化
    plt.plot(x_points, real_func(x_points), label='real')
    plt.plot(x_points, fit_func(p_lsq[0], x_points), label='fitted curve')
    plt.plot(x, y, 'bo', label='noise')
    plt.legend()
    return p_lsq
    
    # M=0
    p_lsq = fitting(M=0)

朋友 从一次函数依次增加项式,找到最为宜的拟合曲线。



到9次的事先 ,事先 删改拟合什么点了 。

总结

朋友 都都要看出,最小二乘法的原理其实非常简单,运用起来也简洁,应用广泛。就是它删改一定会一定的局限性,比如事先 拟合函数删改一定会线性的,就无法用最小二乘法了。还有许多,本文讲的最小二乘法是最简洁的,就是它对噪声的容忍度很低,容易造成过拟合,什么都有还都要加在正则化,你你这种 有兴趣的读者都都要了解下。最小二乘法运用误差宽度求最优解的思路是朋友 机器学习中另有一个很经典也很常用的思维方向之一,为学习机器学习打下另有一个好基础。这也是把它放满朋友 的机器学习系列最日后开始的导致 。

ps:都要删改代码,关注公众号,回复‘最小二乘法’获得~

本文首发微信公众号“哈尔的数据城堡”.